Maxima: компьютерная алгебра и символьные вычисления в Linux

В начало поста вынесен эпиграф к книге "Путешествие из Петербурга в Москву" Александра Николаевича Радищева (1749-1802), что в переводе означает "Чудовище тучное, гнусное, огромное, стозевное и лающее". Это, пожалуй, самый точный* "портрет" системы символьных вычислений Maxima после логичности, простоты и превосходной документации Maple.


В инженерной практике очень часто бывает необходимо по-быстрому взять интеграл, продифференцировать длинное и занудное выражение, сложить пару километровых матриц или ещё чего по мелочи. Делать это от руки, хотя и можно, но лениво - вот тут нам и пригодится система компьютерной алгебры Maxima, которая есть в любом уважающем себя дистрибутиве.

Установка Maxima
Скачивать Maxima с варёзных сайтов, в отличие от Maple, не надо (а если всё-таки надо, скачать Maxima бесплатно можно наофициальном сайте). В Debian просто устанавливаем: aptitude install wxmaxima maxima

Стоит подчеркнуть, что без wxmaxima, которая предоставляет возможность копирования результатов в LaTeX, автозакрытия двоеточием и форматированным выводом, сама Maxima почти бесполезна и крайне раздражает своим невменяемым интерфейсом - настолько, что чаще сделать всё от руки проще и быстрее.

Графическая оболочка сильно выправляет ситуацию с идиотскими косяками текстового режима и делает Maxima в целом съедобной. В конце команды не забываем написать точку с запятой, если работаем с консольным интерфейсом. В графической среде это сделают за нас.


Выход из Maxima
Это достойно интерфейса одного текстового редактора, который пищит и всё портит. Чтобы выйти из Maxima, нужно дать команду: quit();

Как признаётся даже официальная документация, "This is a bit confusing for new users, but you must type that full command". Почему бы не наступить на горло собственной песне и сделать хотя бы вот это просто и пряморуко, автор понять не в силах. Опять-таки, графический интерфейс всё делает за нас.


Простые вычисления
Вот есть у нас выражение типа x^2 , и мы хотим его вычислять, меняя x. Это достигается следующей хитроумной конструкцией:

(%i2) at (x^2, [x=7]);
(%o2) 49
(%i3)


Или ещё. Если мы хотим упрощать что-то вроде a - b + 2*a то Maxima это надо разжевать, положить в ротик, залить кипяточком и хорошенько пнуть:

(%i19) K(s):= s^2+2;
(%i22) expand(K(s)-s^2);
(%o22) 2

То есть функция eval тут не проходит, обязательно expand. И функцию объявляем с явным прописыванием переменной вот так: K(s):= s^2+2;

Ну и наконец, как выглядит мнимая единица в Maxima? Вот как:
(%i12) (0.1*%i)^2;
(%o12) -0.01

То есть i это в Maxima вот так: %i



Матрицы
Так как по роду приходится иметь дело с линейной алгеброй и (отчасти) символьными вычислениями, приходится иметь дело с оценкой свойств матриц. В силу того, что я ленивый и несколько забывчивый, мне приходится использовать Maxima с её откровенно наркоманским интерфейсом считать матрицы, особенно если они параметрические.

Определение матрицы 

(%i16) A: matrix([1,e],[3,4]);
 [ 1  e ]
(%o16)
 [      ]
 [ 3  4 ]

(%i1) A: matrix([a,b],[c,d]);
 [ a  b ]
(%o1)                            [      ]
 [ c  d ]

(%i15) K*K;
 [  2   2 ]
 [ a   b  ]
(%o15)
 [        ]
 [  2   2 ]
 [ c   d  ]

(%i16) K.K;
 [             2                 ]
 [ b c + a    b d + a b ]
(%o16) [                                  ]
 [                      ]
 [ c d + a c  d  + b c  ]

(%i21) A*A1.A;
 [ c (c c1 + b b1)  b (b c1 + b1 c) ]
(%o21)         [                     ]
 [ b (b c1 + b1 c)  c (c c1 + b b1) ]

(%i22) ev A*A1.A;
Incorrect syntax: a is not an infix operatorevSpaceA*^

(%i22) ev(A*A1.A);
 [ c (c c1 + b b1)  b (b c1 + b1 c) ]
(%o22)        [                                                     ]
 [ b (b c1 + b1 c)  c (c c1 + b b1) ]

(%i23) expand(A*A1.A);
 [   2               2                        ]
 [ c  c1 + b b1 c  b  c1 + b b1 c ]
(%o23)         [                                                 ]
 [    2             2                      ]
 [ b  c1 + b b1 c  c  c1 + b b1 c ]

Это сэкономило нам пять минут ручной работы, но прибавило десять минут поиска в документации. Неплохо, бывало и хуже.


Вычисление детерминанта матрицы в Maxima
Это делается сравнительно длинной командой determinant:

(%i17) determinant(A);
(%o17) 4 - 3 e

Автодополнением в консоли даже не думайте пользоваться: оно всё заменит на ЗАГЛАВНЫЕ БУКВЫ и вычислять откажется, что в общем ставит вопрос вменяемости разработчиков ещё острее.

Производные
Для вычисления производных испольуем функцию diff в формате

diff ( f(x), x, k)

где: 

f(x) == дифференцируемая функция

x == переменная, по которой следует дифференцировать

k == порядок производной (k=1 - первая производная, k=2 - вторая производная)

Учебник математического анализа, возможно, ещё не стёрся из памяти читателя окончательно, так что посмотрим на примеры. Берём первую первую производную от функции 1/(s+1)^2 по переменной s и получаем:

(%i14) diff(1/(s+1)^2,s);
2
(%o14) - --------
3
(s + 1)

Вторая производная от той же функции:

(%i15) diff(1/(s+1)^2,s,2);
6
(%o15) --------
4
(s + 1)

Всё работает правильно.

Преобразование Лапласа
Если вы занимаетесь или изучаете теорию автоматического управления (Control Theory), вам очень даже пригодится прямое и обратное преобразование Лапласа (Laplace Transform)

Для расчёта

(%i8) ilt(1/(1+s^2)^2,s,t);
sin(t) t cos(t)
(%o8) ------ - --------
2 2

(%i6) laplace(1,t,s);
1
(%o6) -
s

Автор недоумевает по поводу отсутствия такой тривиальной вещи в Максиме, как Z-transform. Вроде бы Максиме не полгода, и цифровые контроллеры сейчас вроде как распространены достаточно, чтобы об этом подумать. Но не здесь.

Заключение и дискуссии
В целом: MAXIMA можно пользоваться ТОЛЬКО с графическим интерфейсом, который нужно устанавливать сразу же. Пакет в Debian называется wxmaxima и особенно при первом знакомстве будет очень кстати. Максима страдает обычными опенсорсными болячками: дурная документация и не всегда логичный командный интерфейс. Если же заткнуть нос и уши, поставив wxmaxima, Максимой пользоваться можно с некоторым даже комфортом: вы даже сможете копировать выхлоп Максимы в формате ЛаТеХ.

Ссылки
Имеет место быть, хотя и довольно топорная, но всё-таки официальная документация. В разогретый кальян хорошо бы покрошить ссылки о базовых способах вычислений в Maxima.

У издательства Alt Linux, как выясняется, есть очень неплохая книга Е.А. Чичкарева "Компьютерная математика с Maxima".

Стараниями уважаемых комментаторов нашёлся:

• хороший "10-ти минутный туториал" по Максиме (ин инглиш),
• примеры из книжки Maxima by Example,
• ещё примеры (теперь уже на русском)
• подборка из журнала LinuxFormat про Maxima.

Ежели отряды Анонимусов, достигших просветления поболе автора, накидают ещё ссылок, автор их (ссылок, не Анонимусов) вставит в пост с удовлетворением и искреннею радостию.

Ссылки по теме

• Каталог программ ASPLinux
• Каталог программ ALT Linux
• Задать вопрос ONLine по покупке программ в интернет магазине ITShop